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高等数学试卷 第 1 页 （共 6 页）
一、选择题（每小题2 分，共60 分）
1．设函数 f (x ) 的定义域为区间(-1 ,1] ，则函数 e f ( x-1 ) 的定义域为
A．[- 2, 2] B．(- 1, 1] C．(- 2, 0] D．(0, 2]
【答案】D.
解： -1< x -1£ 1Þ 0 < x £ 2 ，应选 D.
2．若 f (x ) (xÎ R ) 为奇函数，则下列函数为偶函数的是
A． y = 3 x3 - 1f (x ) ， xÎ[-1, 1]
高等数学试卷 第 2 页 （共 6 页）
B． y = xf (x) + tan 3 x ， xÎ( - π, π)
C． y = x3 sin x - f (x ) ， xÎ[- 1, 1]
D． y = f (x)ex 2 sin 5 x ， xÎ[ - π, π]
【答案】D.
解： 根据偶函数的定义及结论得： y = f (x)ex 2 sin 5 x ， xÎ[ - π, π] 为偶函数，
应选 D.
3．当 x ® 0 时， e2 x - 1 是sin 3x的
A．低阶无穷小 B．高阶无穷小
C．等价无穷小 D．同阶非等价无穷小
【答案】D.
解：
2
0 0
lim e 1 lim 2 2
sin 3 3 3
x
x x
x
® x ® x
-
= = ，从而是同阶非等价无穷小，应选 D.
4．设函数
2
5
1
sin 1 , 0
( )
ex , 0
x x
f x x
x
ì > ï
= í
ï
î <
，则 x = 0 是 f (x ) 的
A．可去间断点 B．跳跃间断点
C．连续点 D．第二类间断点
【答案】A.
解：
1
2
0 0 5 0 0
lim ( ) lim sin 1 0; lim ( ) lim ex 0
x x x x
f x x f x
® + ® + x ® - ® -
= = = = ，从而 x = 0 是可去间
断点，应选 A.
5．下列方程在区间(0, 1) 内至少有一个实根的为
A． x 2 + 2 = 0 B．sin x = 1 - π
C． x3 + 5x 2 - 2 = 0 D． x2 +1+ arctan x = 0
【答案】C.
解： 构造函数，验证端点函数值异号，应选 C.
6．函数 f (x ) 在点 0 x = x 处可导，且 ( ) 1 0 f ¢ x = - ，则 0 0
0
lim ( ) ( 3 )
h 2
f x f x h
® h
- +
=
A．
2
3
B．
2
3
- C．
3
2
- D．
3
2
高等数学试卷 第 3 页 （共 6 页）
【答案】D.
解： 0 0
0 0
lim ( ) ( 3 ) 3 ( ) 3
h 2 2 2
f x f x h f x
® h
- + ¢ = - = ，应选 D.
7．曲线 y = x ln x 的平行于直线 x - y + 1 = 0 的切线方程是
A． y = x - 1 B． y = - ( x + 1)
C． y = -x + 1 D． y = (ln x + 1) ( x - 1)
【答案】A.
解： y = x ln xÞ y¢ =1+ ln x =1Þ x =1, y = 0 ，可得切线为 y = x - 1 ，应选
A. 也可以根据切线与已知直线平行这个条件，直接得到。
8．设函数 1 2 2sin π
5
y = - x - ，则 y ¢ =
A．
2
2cos π
1 5
x
x
- -
-
B．
1 2
x
x
-
-
C．
2
2
1
x
- x
D．
2
2 2 cos π
1 5 5
x
x
- -
-
【答案】B.
解： 2
2
1 2sin π
5 1
y x y x
x
¢ - = - - Þ =
-
，应选 B.
9．若函数 f (x ) 满足 df (x) = - 2x sin x2 d x ，则 f (x ) =
A． cos x 2 B． cos x2 + C C． sin x2 + C D． -cos x2 + C
【答案】B.
解： df (x) = -2x sin x2dxÞ f (x) = ò (- 2x sin x2 )d x
= -ò sin x2dx2 = cos x2 + C ,应选 B.
10．
d e sin(1 2 )d
d
b x
a
x x
x
ò - - =
A．e- x sin(1- 2x ) B．e- x sin(1- 2x)d x
C．e- x sin(1- 2x) + C D．0
【答案】D.
解： 定积分是常数，其导数为 0，应选D.
11．若 f (-x) = f (x ) ，在区间(0, +¥ ) 内， f ¢ (x ) > 0 ， f ¢( x ) > 0 ，则 f (x ) 在
高等数学试卷 第 4 页 （共 6 页）
区间(-¥ , 0) 内
A． f ¢( x ) < 0 ， f ¢ (x ) < 0 B． f ¢ (x ) > 0 ， f ¢ (x ) > 0
C． f ¢ (x ) > 0 ， f ¢( x ) < 0 D． f ¢ (x ) < 0 ， f ¢ (x ) > 0
【答案】D.
解：根据偶函数的图像关于 y 轴的性质，在 (-¥ , 0) 内有 f ¢ (x ) < 0 ， f ¢( x ) > 0 ，
应选 D.
12．若函数 f (x ) 在区间(a, b ) 内连续，在点 0 x 处不可导， 0 x Î (a, b ) ，则
A． 0 x 是 f (x ) 的极大值点 B． 0 x 是 f (x ) 的极小值点
C． 0 x 不是 f (x ) 的极值点 D． 0 x 可能是 f (x ) 的极值点
【答案】D.
解： 根据可能的极限点是驻点或不可导点的结论知， 0 x 可能是 f (x ) 的极值点.
应选 D.
13．曲线 y = x e - x 的拐点为
A． x = 1 B． x = 2 C． 2
2, 2
e
æ ö
ç ÷
è ø
D．
1, 1
e
æ ö
ç ÷
è ø
【答案】C.
解： y = xe-x Þ y¢ = e-x - xe- x Þ y¢ = (x - 2)e- x Þ x = 2 ，应选 C.
14．曲线
2 arctan 3
5
y x
x
= +
A．仅有水平渐近线
B．仅有垂直渐近线
C．既有水平渐近线，又有垂直渐近线
D．既无水平渐近线，又无垂直渐近线
【答案】A.
解：
0 0
lim lim 2arctan 3 3;lim lim 2arctan 3
x x 5 x x 5
y x y x
®±¥ ®±¥ x ® ® x
= æ + ö = = æ + ö ¹ ¥ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
，仅有水
平渐近线，应选 A.
15．若 cos x 是 f (x ) 的一个原函数，则 ò d f ( x ) =
A． -sin x + C B．sin x + C C． -cos x + C D．cos x +C
高等数学试卷 第 5 页 （共 6 页）
【答案】A.
解： f (x) = ( cos x)¢ = - sin x ， ò df (x) = f (x) +C = -sin x + C ,应选 A.
16．设曲线 y = f (x ) 过点(0, 1)，且在该曲线上任意一点(x, y ) 处切线的斜率为
x + e x ，则 f (x ) =
A．
2
e
2
x x
- B．
2
e
2
x x
+ C． x 2 + e x D． x 2 - e x
【答案】B.
解： ( ) 2 e ( ) e d 1 e
2
y¢ = x + x Þ f x = ò x + x x = x + x + C ,把点(0, 1)代入得 C = 0 ,
所以 f (x ) =
2
e
2
x x
+ ，应选 B.
17．
π 2
π 4
sin d
1
x x x
- x
=
+ ò
A．2 B．0 C．1 D． - 1
【答案】B.
解：根据奇函数在对称区间上定积分性质知，应选 B.
18．设 f (x ) 是连续函数，则
2
( )d x
a
ò f t t 是
A． f (x ) 的一个原函数 B． f (x ) 的全体原函数
C． 2 xf ( x 2 ) 的一个原函数 D． 2 xf ( x 2 ) 的全体原函数
【答案】C.
解：因为
2
( )d 2 ( 2 ) x
a
f t t xf x
é ù ¢ ê ú = ë û ò ，所以
2
( )d x
a
ò f t t 是 2 xf ( x 2 ) 的一个原函数，
应选 C.
19．下列广义积分收敛的是
A．
1
1 dx
x
+¥ ò B．
2
e
ln x d x
x
+¥ ò
C． e 2
1 d
ln
x
x x
+¥ ò D． 1 2
d
1
x x
x
+¥
+ ò
【答案】C.
高等数学试卷 第 6 页 （共 6 页）
解： e 2 e 2
1 d 1 dln
ln ln
x x
x x x
+¥ +¥ ò = ò ，可看作 p = 2 的广义积分，是收敛的，应
选 C.
20．微分方程 x 4 ( y ¢ ) 2 + y ¢ - x 2 y = 0 的阶数是
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B.
解：根据微分方程阶的定义知，此方程为 2 阶常微分方程，应选 B.
21．已知向量 ar = {5, x , - 2} 和 b = {y , 6, 4}
r
平行，则x 和 y 的值分别为
A． - 4 ，5 B． - 3 ， - 10 C． - 4 ， - 10 D． - 10 ， - 3
【答案】B.
解：
// 5 2 3, 10
6 4
a b x x y
y
-
Þ = = Þ = - = -
r r ，应选 B.
22．平面 x + y + z = 1 与平面 x + y - z = 2 的位置关系是
A．重合 B．平行
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】D.
解： 根据系数之间不成比例，也对应乘积之和也不为 0，位置关系是相交但不
垂直，应选D.
23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是
A． y2 + z 2 = 1 B． z = x2 + y 2
C． z2 = x2 + y 2 D． z = x2 - y 2
【答案】A.
解：在空间直角坐标系中表示柱面的方程至含有两个变量，应选 A.
24．关于函数
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
xy x y
f x y x y
x y
ì + ¹ = ï + í
îï + =
下列表述错误的是
A． f (x, y ) 在点(0, 0)处连续 B． (0, 0) 0 x f =
C． (0, 0) 0 y f = D． f (x, y ) 在点(0, 0)处不可微
【答案】D.
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解： 0 0 2 2
0 0
lim ( , ) lim
x x
y y
f x y xy
® ® x y
® ®
=
+
不存在，从而 f (x, y ) 在点(0, 0)处不连续，应选
A.
25．设函数 ln( x y )
y
z = x - ，则 =
¶
¶
y
z
A．
y ( x y )
x
-
B． 2
xln(x y )
y
-
-
C．
ln( )
( )
x y x
y y x y
-
+
-
D． 2
ln( )
( )
x x y x
y y x y
-
- -
-
【答案】D.
解： 2
z x ln(x y) z x ln(x y ) x 1
y y y y x y
¶ -
= - Þ = - - + ´
¶ -
z
y
¶
Þ =
¶ 2
ln( )
( )
x x y x
y y x y
-
- -
-
，应选 D.
26．累次积分
2
2
2 2
0 2
d ( , )d x x
x x
x f x y y -
- - ò ò 写成另一种次序的积分是
A．
1
0
d ( , )d y
y
y f x y x
- ò ò B．
2
2
2 2
0 2
d ( , )d y y
y y
y f x y x -
- - ò ò
C．
2
2
1 1
1 1
d ( , )d y
y
y f x y x -
- - - ò ò D．
2
2
1 1 1
1 1 1
d ( , )d y
y
y f x y x + -
- - - ò ò
【答案】D.
解： {( x, y) | 0 £ x £ 2,- 2x - x2 £ y £ 2 x - x 2 } =
{( x, y) | -1£ y £1,1- 1- y2 £ x £1+ 1 - y 2 } ，应选 D.
27．设 D = {(x, y) | x ≤ 2, y ≤ 2}，则 òò =
D
d xd y
A． 2 B．16 C．12 D． 4
【答案】D.
解： d d 16 D
D
òò x y =S = ,应选 B.
高等数学试卷 第 8 页 （共 6 页）
28．若幂级数 å ¥
n =0
n
n a x 的收敛半径为R ，则幂级数 å ¥
=
-
0
( 2 ) 2
n
n
n a x 的收敛区间为
A．(- R, R ) B．(2 - R, 2 + R )
C．(- R, R ) D．(2 - R, 2 + R )
【答案】D.
解： 收敛区间是不考虑端点的， 因 å ¥
n =1
n
n a x 在 xÎ(- R, R ) 内收敛,级数
2
1
( 2) n
n
n
a x
¥
=
å - 写作 2
1
[( 1) ] n
n
n
a x
¥
=
å - ， 所以有 (x - 2)2 Î(- R,R ) ， 即有
2 - R < x < 2 + R ，即 å ¥
=
-
0
( 2 ) 2
n
n
n a x 收敛区间为(2 - R, 2 + R ) .应选 D.
29．下列级数绝对收敛的是
A． å ¥
=
-
1
( 1) 1
n
n
n
B． å ¥
=
-
1
2 2
( 1) 3
n
n
n
n
C． å ¥
= -
+
-
1 2 1
( 1) 1
n
n
n
n
D． å ¥
= -
-
1
2 2 1
( 1)
n
n
n
n
【答案】B.
解： 2 2
1 1 1
( 1) 3 3 3
2 2 4
n n n
n
n n
n n n
¥ ¥ ¥
= = =
- = = æ ö ç ÷
è ø å å å 是收敛，故应选 B.
30．若幂级数
0
( 3) n
n
n
a x
¥
=
å - 在点 x = 1 处发散，在点 x = 5 处收敛，则在点 x = 0 ，
x = 2 ， x = 4 ， x = 6 中使该级数发散的点的个数有
A． 0 个 B．1个 C． 2 个 D．3 个
【答案】A.
解： 令 x - 3 = t ，则级数化为
0
n
n
n
a t
¥
=
å 。而 x = 1 就是 t = - 2 ， x = 5 就是 t = 2 ，
这说明级数
0
n
n
n
a t
¥
=
å 的收敛域为(- 2,2] ，从而点 x = 0 ， x = 2 ， x = 4 ， x = 6 ，相当
于 t = - 3 ， t = - 1 ， t = 1 ， t = 3 ，故原级数发散的点的个数有 2，应选 C.
二、填空题（每空 2 分，共 20 分）
31．设 f (3- 2x ) 的定义域为(-3 , 4] ，则 f (x ) 的定义域为________．
高等数学试卷 第 9 页 （共 6 页）
解: -3 < x £ 4Þ6 > -2x ³ -8Þ9 > 3- 2x ³ - 5 ,
所以 f (x ) 的定义域为[- 5, 9) 。
32．极限 lim ( 2 3)
x
x x x
®+¥
+ - - = ________．
解：
lim ( 2 3) lim 5 5
x x 2 3 2
x x x x
®+¥ ®+¥ x x
+ - - = =
+ + -
。
33．设函数 f (x) = (x +1)(x + 2)(x -3)(x - 4) ，则 f (4) (x ) = ________．
解： f (x) = (x2 + 3x + 2)(x2 - 7x +12) = x4 - 4x3 - 7x2 + 22x + 24
所以 f (4) (x ) = 24 .
34．设参数方程 2
2 1
3 1
x t
y t
ì = +
í = - î
所确定的函数为 y = y(x ) ，则
2
2
d
d
y
x
=________．
解:
2
2
d 6 3 , d (3 ) 2 1 3
d 2 d 2
t
x
t t
y y t t y t
x x x x
¢
= = = = ¢ = =
¢ ¢
.
35． ò (ln x +1)d x = ________．
解： ò (ln x +1)dx = x ln x + C .
36．点(3, 2, - 1) 到平面 x + y + z -1 = 0 的距离是________．
解：
| 3 2 1 1| 3
3
d
+ - -
= = 。
37．函数 z = (1+ y ) x 在点(1, 1)处的全微分dz = ________．
解：因为 dz = (1+ y)x ln(1+ y)dx + x(1+ y)x -1 d y ，所以dz = 2ln 2dx + dy .
38．设L 为三个顶点分别为(0, 0) ， (1, 0) 和(0, 1) 的三角形边界， L 的方向为
逆时针方向，则 ( 2 3 )d ( 2 3 2 )d
L
Ñò xy - y x + x y - xy y = ________．
解：因为 2 2 3 2 P Q xy y
y x
¶ ¶
= = -
¶ ¶
，与积分路径无关，
故 ( 2 3 )d ( 2 3 2 )d 0
L
Ñò xy - y x + x y - xy y = 。
39．已知微分方程 y ¢ + ay = e x 的一个特解为 y = xe x ，则a =________．
解：把 y = xe x 代入方程得(a +1)x = 0Þa = - 1 .
高等数学试卷 第 10 页 （共 6 页）
40．级数
0
3
!
n
n n
¥
=
å 的和为________．
解： 3
0
3 e
!
n
n n
¥
=
å = 。
三、计算题（每小题5 分，共45 分）
41．求极限
2
0
0 4
(e 1)sin sin d lim
1 cos
x
x
x
x t t
® x x
æ ö
ç - ÷ ç - ÷ ç - ÷
è ø
ò ．
解：
2 2
0 0
0 4 0 0 4
(e 1)sin sin d (e 1) sin sin d lim lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x x
x t t x t t
® x x ® x ® x
æ ö
ç - ÷ - ç - ÷ = - ç - ÷ -
è ø
ò ò 1
分
2 2
0 0 3
lim lim 2 sin
x 1 cos x 4
x x x
® x ® x
= -
-
3
分
3
0 0 3
lim 2 lim 2 2 1 3
x sin x 4 2 2
x x
® x ® x
= - = - = 5
分
42．设由方程 ey - xy 2 = e 2 确定的函数为 y = y (x ) ，求
0
d
d x
y
x =
．
解：方程 ey - xy 2 = e 2 两边x求到得 ey y¢- y2 - 2xy = 0 2
分
即有
2 2
e y
y y xy
¢ + = 4
分
把 x = 0 代入方程有 y = 2
2
2
2
0 0 2
d d 2 4e
d x d x e 0 y
y y
x x
-
= = =
= = =
-
5
分
43．求不定积分
e 2 d
e 1
x
x
x
+ ò ．
解： 2
2 e 1 2 2
ln( 1) 2
e d ( 1) 2 dt
e 1 1
x x t
x x t
x t t
t t
+ =
= -
-
======
+ - ò ò 2
分
高等数学试卷 第 11 页 （共 6 页）
= 2ò (t 2 - 1)dt 3
分
2 3 2
3
= t - t + C 4
分
2 ( e 1)3 2 e 1
3
= x + - x + + C 5
分
44．求定积分 ( ) 2 2
0
ò x + 2x - x d x ．
解： ( ) 2 2 2 2 2
0 0 0
ò x + 2x - x dx = ò xdx + ò 2x - x d x 1
分
2
2 2 2
0
0
1 1 (1 ) (1 )
2
= x - ò - - x d - x 3
分
1 2
1
= 2 + ò 1 - t dt （令1 - x = t ）4
分
2 1 2 1 π
2 2
= + S = + 圆 5
分
45．求过点(1, 2, - 5) 且与直线
2 1
3 3
x y z
x y
ì - + =
í - = î
平行的直线方程．
解：取所求直线的方向向量 { } 1 2 2 1 1 3,1, 5
1 3 0
i j k
s = n ´n = - = -
-
r r r
r r r ，3
分
代入直线点向式方程得所求直线方程为
1 2 5
3 1 5
x - y - z +
= =
-
。5
分
46．求函数 f ( x , y ) = x 2 + 3 y 2 - 2 xy + 8 x 的极值．
解：令
2 2 8 0
6 2 0
f x y
x
f y x
y
ì ¶ ï = - + = ï ¶
í ¶ ï = - =
îï ¶
得唯一可能的极值点(6,
2),
2
分
而
2 2 2
2 2 A f 2,B f 2,C f 6
x x y y
¶ ¶ ¶
= = = = - = =
¶ ¶ ¶ ¶
，
有 B2 - AC = -8 < 0, A > 0 ,4
分
高等数学试卷 第 12 页 （共 6 页）
故(6,
2)
是极小值点，极小值为 f (-6,-2) = 36 +12 - 24 - 48 = - 24 5
分
47．将 2
( ) 3
2 1
f x x
x x
=
+ -
展开成x 的幂级数．
解： 2
( ) 3 1 1
2 1 1 1 2
f x x
x x x x
= = -
+ - + -
1
分
因为
0
1 , ( 1 1)
1
n
n
x x
x
¥
=
= - < <
- å ，所以
0
1 ( ) , ( 1 1)
1
n
n
x x
x
¥
=
= - - < <
+ å ，
0
1 (2 ) , ( 1 1 )
1 2 2 2
n
n
x x
x
¥
=
= - < <
- å 3
分
所以
0 0 0
( ) ( )n (2 )n ( 1)n 2 n n
n n n
f x x x x
¥ ¥ ¥
= = =
=å - -å =å éë - - ùû ，
1 , 1
2 2
x Îæç- ö÷
è ø
5
分
48．计算二重积分 2 2 d
D
òò x + y s ，其中D是由圆 x2 + y 2 = 3 所围成的闭区域．
解：积分区域如图所示
在极坐标系下积分区域表示为
{( q , r) | 0 £q £ 2π,0 £ r £ 3 } ，3
分
故
2 2 2π 3 2
0 0
d d d
D
òò x + y s = ò q ò r r 4
分
3
3 2 3
0
0
2π d 2π 1 2 3π
3
= ò r r = r = 。5
分
49．求微分方程 9 y ¢ - 6 y ¢ + y = 0 的通解．
解：这是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为 9r2 - 6r +1 = 0 2
分
从而有两个相等特征根 1 2
1
3
r = r = 3
分
故方程的通解为
1
3
1 2 ( )e x y = C + C x （ 1 C ， 2 C 是任意常数）5
分
四、应用题（每小题8 分，共16 分）
50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时
x2 + y2 = 3®r = 3
x
y
O
q
高等数学试卷 第 13 页 （共 6 页）
用料最省？
解：设容积的高和底面半径分别为h ， r ，其表面积为S ，
则 V = π r2 h ， S = 2πr 2 + 2π rh ，2
分，
把 π 2
h V
r
= 代入得 S 2π r2 2V , (r 0)
r
= + > ，此问题转化为求S 最小值，4
分
令 2
4π 2 0 r
S r V
r
¢ = - = 得唯一可能的极值点 3
2π
r = V ,根据实际意义可知S 一定存
在最小值，故此时S 就取得最小值6
分
这时
3
2
3
3
π 2π 2π 2
π π π
V
h r V V V
r r r V V
æ ö
= = = ×çç ÷÷ = × =
è ø
---7 分
故容积的高与底面半径的比值为 2 时，用料最省。8
分
51．平面图形D由曲线 y = x 2 ，直线 y = 2 - x 及x轴所围成．求：
（1） D 的面积；
（2） D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．
解：平面图形D 如图所示
联立方程
2
2
y x
y x
ì =
í
î = -
得交点（1,1）,
（-2,4）。
取x为积分变量，且 xÎ[0,1]È [1, 2] 。
------3 分
（1）所求平面图形D 为
1 2 2
0 1
A = ò x dx + ò (2 - x)d x
3 1 2
2
0 1
(2 1 ) 1 1 5
3 2 3 2 6
= x + x - x = + = 5
分
（2）平面图形D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积为
1 4 2
0
π d 1 π 1 1
x 3 V = ò x x + × ×
5 1
0
π π 8 π
5 3 15
x
= + = 8
分
五、证明题（9 分）
2
y = x 2
(1, 1)
y = 2 - x
x
y
O
2
1
高等数学试卷 第 14 页 （共 6 页）
52．设函数 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1] 上连续，在开区间 ( 0 , 1) 内可导，且 f (0) = 0 ，
f (1) = 2 ．证明：在 ( 0 , 1) 内至少存在一点x ，使得 f ¢( x ) = 2x + 1 成立．
方法一
证明：构造函数 F(x) = f (x) - x 2 ， ----2 分
因 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1] 上连续，在开区间 ( 0 , 1) 内可导，所以函数 F (x ) 在闭区间
[ 0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，且 F¢(x) = f ¢( x) - 2 x ． ---4分
于是 F (x ) 在 [ 0 , 1] 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间 ( 0 , 1) 内至少存
在一点x ，使得
( ) (1) (0)
1 0
F x F F
¢ - =
-
，---6 分
将 f (0) = 0 ， f (1) = 2 代入上式，得
( ) (1) (0) [ (1) 1] [ (0) 0] 1
1 0
F x F F f f
¢ - = = - - - =
-
，----8 分
即 f ¢( x ) - 2x = 1 ，
于是 f ¢( x ) = 2x + 1 ．----9 分
方法二
证明：构造函数 F(x) = f (x) - x2 - x ， ----3 分
因 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1] 上连续，在开区间 ( 0 , 1) 内可导，所以函数 F (x ) 在闭区间
[ 0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，且 F¢(x) = f ¢( x) - 2x - 1 ． ---5分
并有 F(0) = F (1) = 0
即有 F (x ) 在 [ 0 , 1] 上满足罗尔中值定理的条件，故在开区间 ( 0 , 1) 内至少存在一
点x ，使得 F ¢( x ) = 0 ，------8分
即 f ¢ (x ) - 2x -1 = 0 ，
故 f ¢ (x ) = 2x + 1 ．----9 分高等数学试卷 第 1 页 （共 6 页）
2010 年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
高等数学
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
1．设函数 f (x ) 的定义域为区间(-1 ,1] ，则函数 e f ( x-1 ) 的定义域为
A．[- 2, 2] B．(- 1, 1] C．(- 2, 0] D．(0, 2]
【答案】D.
解： -1< x -1£ 1Þ 0 < x £ 2 ，应选 D.
2．若 f (x ) (xÎ R ) 为奇函数，则下列函数为偶函数的是
A． y = 3 x3 - 1f (x ) ， xÎ[-1, 1]
高等数学试卷 第 2 页 （共 6 页）
B． y = xf (x) + tan 3 x ， xÎ( - π, π)
C． y = x3 sin x - f (x ) ， xÎ[- 1, 1]
D． y = f (x)ex 2 sin 5 x ， xÎ[ - π, π]
【答案】D.
解： 根据偶函数的定义及结论得： y = f (x)ex 2 sin 5 x ， xÎ[ - π, π] 为偶函数，
应选 D.
3．当 x ® 0 时， e2 x - 1 是sin 3x的
A．低阶无穷小 B．高阶无穷小
C．等价无穷小 D．同阶非等价无穷小
【答案】D.
解：
2
0 0
lim e 1 lim 2 2
sin 3 3 3
x
x x
x
® x ® x
-
= = ，从而是同阶非等价无穷小，应选 D.
4．设函数
2
5
1
sin 1 , 0
( )
ex , 0
x x
f x x
x
ì > ï
= í
ï
î <
，则 x = 0 是 f (x ) 的
A．可去间断点 B．跳跃间断点
C．连续点 D．第二类间断点
【答案】A.
解：
1
2
0 0 5 0 0
lim ( ) lim sin 1 0; lim ( ) lim ex 0
x x x x
f x x f x
® + ® + x ® - ® -
= = = = ，从而 x = 0 是可去间
断点，应选 A.
5．下列方程在区间(0, 1) 内至少有一个实根的为
A． x 2 + 2 = 0 B．sin x = 1 - π
C． x3 + 5x 2 - 2 = 0 D． x2 +1+ arctan x = 0
【答案】C.
解： 构造函数，验证端点函数值异号，应选 C.
6．函数 f (x ) 在点 0 x = x 处可导，且 ( ) 1 0 f ¢ x = - ，则 0 0
0
lim ( ) ( 3 )
h 2
f x f x h
® h
- +
=
A．
2
3
B．
2
3
- C．
3
2
- D．
3
2
高等数学试卷 第 3 页 （共 6 页）
【答案】D.
解： 0 0
0 0
lim ( ) ( 3 ) 3 ( ) 3
h 2 2 2
f x f x h f x
® h
- + ¢ = - = ，应选 D.
7．曲线 y = x ln x 的平行于直线 x - y + 1 = 0 的切线方程是
A． y = x - 1 B． y = - ( x + 1)
C． y = -x + 1 D． y = (ln x + 1) ( x - 1)
【答案】A.
解： y = x ln xÞ y¢ =1+ ln x =1Þ x =1, y = 0 ，可得切线为 y = x - 1 ，应选
A. 也可以根据切线与已知直线平行这个条件，直接得到。
8．设函数 1 2 2sin π
5
y = - x - ，则 y ¢ =
A．
2
2cos π
1 5
x
x
- -
-
B．
1 2
x
x
-
-
C．
2
2
1
x
- x
D．
2
2 2 cos π
1 5 5
x
x
- -
-
【答案】B.
解： 2
2
1 2sin π
5 1
y x y x
x
¢ - = - - Þ =
-
，应选 B.
9．若函数 f (x ) 满足 df (x) = - 2x sin x2 d x ，则 f (x ) =
A． cos x 2 B． cos x2 + C C． sin x2 + C D． -cos x2 + C
【答案】B.
解： df (x) = -2x sin x2dxÞ f (x) = ò (- 2x sin x2 )d x
= -ò sin x2dx2 = cos x2 + C ,应选 B.
10．
d e sin(1 2 )d
d
b x
a
x x
x
ò - - =
A．e- x sin(1- 2x ) B．e- x sin(1- 2x)d x
C．e- x sin(1- 2x) + C D．0
【答案】D.
解： 定积分是常数，其导数为 0，应选D.
11．若 f (-x) = f (x ) ，在区间(0, +¥ ) 内， f ¢ (x ) > 0 ， f ¢( x ) > 0 ，则 f (x ) 在
高等数学试卷 第 4 页 （共 6 页）
区间(-¥ , 0) 内
A． f ¢( x ) < 0 ， f ¢ (x ) < 0 B． f ¢ (x ) > 0 ， f ¢ (x ) > 0
C． f ¢ (x ) > 0 ， f ¢( x ) < 0 D． f ¢ (x ) < 0 ， f ¢ (x ) > 0
【答案】D.
解：根据偶函数的图像关于 y 轴的性质，在 (-¥ , 0) 内有 f ¢ (x ) < 0 ， f ¢( x ) > 0 ，
应选 D.
12．若函数 f (x ) 在区间(a, b ) 内连续，在点 0 x 处不可导， 0 x Î (a, b ) ，则
A． 0 x 是 f (x ) 的极大值点 B． 0 x 是 f (x ) 的极小值点
C． 0 x 不是 f (x ) 的极值点 D． 0 x 可能是 f (x ) 的极值点
【答案】D.
解： 根据可能的极限点是驻点或不可导点的结论知， 0 x 可能是 f (x ) 的极值点.
应选 D.
13．曲线 y = x e - x 的拐点为
A． x = 1 B． x = 2 C． 2
2, 2
e
æ ö
ç ÷
è ø
D．
1, 1
e
æ ö
ç ÷
è ø
【答案】C.
解： y = xe-x Þ y¢ = e-x - xe- x Þ y¢ = (x - 2)e- x Þ x = 2 ，应选 C.
14．曲线
2 arctan 3
5
y x
x
= +
A．仅有水平渐近线
B．仅有垂直渐近线
C．既有水平渐近线，又有垂直渐近线
D．既无水平渐近线，又无垂直渐近线
【答案】A.
解：
0 0
lim lim 2arctan 3 3;lim lim 2arctan 3
x x 5 x x 5
y x y x
®±¥ ®±¥ x ® ® x
= æ + ö = = æ + ö ¹ ¥ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
，仅有水
平渐近线，应选 A.
15．若 cos x 是 f (x ) 的一个原函数，则 ò d f ( x ) =
A． -sin x + C B．sin x + C C． -cos x + C D．cos x +C
高等数学试卷 第 5 页 （共 6 页）
【答案】A.
解： f (x) = ( cos x)¢ = - sin x ， ò df (x) = f (x) +C = -sin x + C ,应选 A.
16．设曲线 y = f (x ) 过点(0, 1)，且在该曲线上任意一点(x, y ) 处切线的斜率为
x + e x ，则 f (x ) =
A．
2
e
2
x x
- B．
2
e
2
x x
+ C． x 2 + e x D． x 2 - e x
【答案】B.
解： ( ) 2 e ( ) e d 1 e
2
y¢ = x + x Þ f x = ò x + x x = x + x + C ,把点(0, 1)代入得 C = 0 ,
所以 f (x ) =
2
e
2
x x
+ ，应选 B.
17．
π 2
π 4
sin d
1
x x x
- x
=
+ ò
A．2 B．0 C．1 D． - 1
【答案】B.
解：根据奇函数在对称区间上定积分性质知，应选 B.
18．设 f (x ) 是连续函数，则
2
( )d x
a
ò f t t 是
A． f (x ) 的一个原函数 B． f (x ) 的全体原函数
C． 2 xf ( x 2 ) 的一个原函数 D． 2 xf ( x 2 ) 的全体原函数
【答案】C.
解：因为
2
( )d 2 ( 2 ) x
a
f t t xf x
é ù ¢ ê ú = ë û ò ，所以
2
( )d x
a
ò f t t 是 2 xf ( x 2 ) 的一个原函数，
应选 C.
19．下列广义积分收敛的是
A．
1
1 dx
x
+¥ ò B．
2
e
ln x d x
x
+¥ ò
C． e 2
1 d
ln
x
x x
+¥ ò D． 1 2
d
1
x x
x
+¥
+ ò
【答案】C.
高等数学试卷 第 6 页 （共 6 页）
解： e 2 e 2
1 d 1 dln
ln ln
x x
x x x
+¥ +¥ ò = ò ，可看作 p = 2 的广义积分，是收敛的，应
选 C.
20．微分方程 x 4 ( y ¢ ) 2 + y ¢ - x 2 y = 0 的阶数是
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B.
解：根据微分方程阶的定义知，此方程为 2 阶常微分方程，应选 B.
21．已知向量 ar = {5, x , - 2} 和 b = {y , 6, 4}
r
平行，则x 和 y 的值分别为
A． - 4 ，5 B． - 3 ， - 10 C． - 4 ， - 10 D． - 10 ， - 3
【答案】B.
解：
// 5 2 3, 10
6 4
a b x x y
y
-
Þ = = Þ = - = -
r r ，应选 B.
22．平面 x + y + z = 1 与平面 x + y - z = 2 的位置关系是
A．重合 B．平行
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】D.
解： 根据系数之间不成比例，也对应乘积之和也不为 0，位置关系是相交但不
垂直，应选D.
23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是
A． y2 + z 2 = 1 B． z = x2 + y 2
C． z2 = x2 + y 2 D． z = x2 - y 2
【答案】A.
解：在空间直角坐标系中表示柱面的方程至含有两个变量，应选 A.
24．关于函数
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
xy x y
f x y x y
x y
ì + ¹ = ï + í
îï + =
下列表述错误的是
A． f (x, y ) 在点(0, 0)处连续 B． (0, 0) 0 x f =
C． (0, 0) 0 y f = D． f (x, y ) 在点(0, 0)处不可微
【答案】D.
高等数学试卷 第 7 页 （共 6 页）
解： 0 0 2 2
0 0
lim ( , ) lim
x x
y y
f x y xy
® ® x y
® ®
=
+
不存在，从而 f (x, y ) 在点(0, 0)处不连续，应选
A.
25．设函数 ln( x y )
y
z = x - ，则 =
¶
¶
y
z
A．
y ( x y )
x
-
B． 2
xln(x y )
y
-
-
C．
ln( )
( )
x y x
y y x y
-
+
-
D． 2
ln( )
( )
x x y x
y y x y
-
- -
-
【答案】D.
解： 2
z x ln(x y) z x ln(x y ) x 1
y y y y x y
¶ -
= - Þ = - - + ´
¶ -
z
y
¶
Þ =
¶ 2
ln( )
( )
x x y x
y y x y
-
- -
-
，应选 D.
26．累次积分
2
2
2 2
0 2
d ( , )d x x
x x
x f x y y -
- - ò ò 写成另一种次序的积分是
A．
1
0
d ( , )d y
y
y f x y x
- ò ò B．
2
2
2 2
0 2
d ( , )d y y
y y
y f x y x -
- - ò ò
C．
2
2
1 1
1 1
d ( , )d y
y
y f x y x -
- - - ò ò D．
2
2
1 1 1
1 1 1
d ( , )d y
y
y f x y x + -
- - - ò ò
【答案】D.
解： {( x, y) | 0 £ x £ 2,- 2x - x2 £ y £ 2 x - x 2 } =
{( x, y) | -1£ y £1,1- 1- y2 £ x £1+ 1 - y 2 } ，应选 D.
27．设 D = {(x, y) | x ≤ 2, y ≤ 2}，则 òò =
D
d xd y
A． 2 B．16 C．12 D． 4
【答案】D.
解： d d 16 D
D
òò x y =S = ,应选 B.
高等数学试卷 第 8 页 （共 6 页）
28．若幂级数 å ¥
n =0
n
n a x 的收敛半径为R ，则幂级数 å ¥
=
-
0
( 2 ) 2
n
n
n a x 的收敛区间为
A．(- R, R ) B．(2 - R, 2 + R )
C．(- R, R ) D．(2 - R, 2 + R )
【答案】D.
解： 收敛区间是不考虑端点的， 因 å ¥
n =1
n
n a x 在 xÎ(- R, R ) 内收敛,级数
2
1
( 2) n
n
n
a x
¥
=
å - 写作 2
1
[( 1) ] n
n
n
a x
¥
=
å - ， 所以有 (x - 2)2 Î(- R,R ) ， 即有
2 - R < x < 2 + R ，即 å ¥
=
-
0
( 2 ) 2
n
n
n a x 收敛区间为(2 - R, 2 + R ) .应选 D.
29．下列级数绝对收敛的是
A． å ¥
=
-
1
( 1) 1
n
n
n
B． å ¥
=
-
1
2 2
( 1) 3
n
n
n
n
C． å ¥
= -
+
-
1 2 1
( 1) 1
n
n
n
n
D． å ¥
= -
-
1
2 2 1
( 1)
n
n
n
n
【答案】B.
解： 2 2
1 1 1
( 1) 3 3 3
2 2 4
n n n
n
n n
n n n
¥ ¥ ¥
= = =
- = = æ ö ç ÷
è ø å å å 是收敛，故应选 B.
30．若幂级数
0
( 3) n
n
n
a x
¥
=
å - 在点 x = 1 处发散，在点 x = 5 处收敛，则在点 x = 0 ，
x = 2 ， x = 4 ， x = 6 中使该级数发散的点的个数有
A． 0 个 B．1个 C． 2 个 D．3 个
【答案】A.
解： 令 x - 3 = t ，则级数化为
0
n
n
n
a t
¥
=
å 。而 x = 1 就是 t = - 2 ， x = 5 就是 t = 2 ，
这说明级数
0
n
n
n
a t
¥
=
å 的收敛域为(- 2,2] ，从而点 x = 0 ， x = 2 ， x = 4 ， x = 6 ，相当
于 t = - 3 ， t = - 1 ， t = 1 ， t = 3 ，故原级数发散的点的个数有 2，应选 C.
二、填空题（每空 2 分，共 20 分）
31．设 f (3- 2x ) 的定义域为(-3 , 4] ，则 f (x ) 的定义域为________．
高等数学试卷 第 9 页 （共 6 页）
解: -3 < x £ 4Þ6 > -2x ³ -8Þ9 > 3- 2x ³ - 5 ,
所以 f (x ) 的定义域为[- 5, 9) 。
32．极限 lim ( 2 3)
x
x x x
®+¥
+ - - = ________．
解：
lim ( 2 3) lim 5 5
x x 2 3 2
x x x x
®+¥ ®+¥ x x
+ - - = =
+ + -
。
33．设函数 f (x) = (x +1)(x + 2)(x -3)(x - 4) ，则 f (4) (x ) = ________．
解： f (x) = (x2 + 3x + 2)(x2 - 7x +12) = x4 - 4x3 - 7x2 + 22x + 24
所以 f (4) (x ) = 24 .
34．设参数方程 2
2 1
3 1
x t
y t
ì = +
í = - î
所确定的函数为 y = y(x ) ，则
2
2
d
d
y
x
=________．
解:
2
2
d 6 3 , d (3 ) 2 1 3
d 2 d 2
t
x
t t
y y t t y t
x x x x
¢
= = = = ¢ = =
¢ ¢
.
35． ò (ln x +1)d x = ________．
解： ò (ln x +1)dx = x ln x + C .
36．点(3, 2, - 1) 到平面 x + y + z -1 = 0 的距离是________．
解：
| 3 2 1 1| 3
3
d
+ - -
= = 。
37．函数 z = (1+ y ) x 在点(1, 1)处的全微分dz = ________．
解：因为 dz = (1+ y)x ln(1+ y)dx + x(1+ y)x -1 d y ，所以dz = 2ln 2dx + dy .
38．设L 为三个顶点分别为(0, 0) ， (1, 0) 和(0, 1) 的三角形边界， L 的方向为
逆时针方向，则 ( 2 3 )d ( 2 3 2 )d
L
Ñò xy - y x + x y - xy y = ________．
解：因为 2 2 3 2 P Q xy y
y x
¶ ¶
= = -
¶ ¶
，与积分路径无关，
故 ( 2 3 )d ( 2 3 2 )d 0
L
Ñò xy - y x + x y - xy y = 。
39．已知微分方程 y ¢ + ay = e x 的一个特解为 y = xe x ，则a =________．
解：把 y = xe x 代入方程得(a +1)x = 0Þa = - 1 .
高等数学试卷 第 10 页 （共 6 页）
40．级数
0
3
!
n
n n
¥
=
å 的和为________．
解： 3
0
3 e
!
n
n n
¥
=
å = 。
三、计算题（每小题5 分，共45 分）
41．求极限
2
0
0 4
(e 1)sin sin d lim
1 cos
x
x
x
x t t
® x x
æ ö
ç - ÷ ç - ÷ ç - ÷
è ø
ò ．
解：
2 2
0 0
0 4 0 0 4
(e 1)sin sin d (e 1) sin sin d lim lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x x
x t t x t t
® x x ® x ® x
æ ö
ç - ÷ - ç - ÷ = - ç - ÷ -
è ø
ò ò 1
分
2 2
0 0 3
lim lim 2 sin
x 1 cos x 4
x x x
® x ® x
= -
-
3
分
3
0 0 3
lim 2 lim 2 2 1 3
x sin x 4 2 2
x x
® x ® x
= - = - = 5
分
42．设由方程 ey - xy 2 = e 2 确定的函数为 y = y (x ) ，求
0
d
d x
y
x =
．
解：方程 ey - xy 2 = e 2 两边x求到得 ey y¢- y2 - 2xy = 0 2
分
即有
2 2
e y
y y xy
¢ + = 4
分
把 x = 0 代入方程有 y = 2
2
2
2
0 0 2
d d 2 4e
d x d x e 0 y
y y
x x
-
= = =
= = =
-
5
分
43．求不定积分
e 2 d
e 1
x
x
x
+ ò ．
解： 2
2 e 1 2 2
ln( 1) 2
e d ( 1) 2 dt
e 1 1
x x t
x x t
x t t
t t
+ =
= -
-
======
+ - ò ò 2
分
高等数学试卷 第 11 页 （共 6 页）
= 2ò (t 2 - 1)dt 3
分
2 3 2
3
= t - t + C 4
分
2 ( e 1)3 2 e 1
3
= x + - x + + C 5
分
44．求定积分 ( ) 2 2
0
ò x + 2x - x d x ．
解： ( ) 2 2 2 2 2
0 0 0
ò x + 2x - x dx = ò xdx + ò 2x - x d x 1
分
2
2 2 2
0
0
1 1 (1 ) (1 )
2
= x - ò - - x d - x 3
分
1 2
1
= 2 + ò 1 - t dt （令1 - x = t ）4
分
2 1 2 1 π
2 2
= + S = + 圆 5
分
45．求过点(1, 2, - 5) 且与直线
2 1
3 3
x y z
x y
ì - + =
í - = î
平行的直线方程．
解：取所求直线的方向向量 { } 1 2 2 1 1 3,1, 5
1 3 0
i j k
s = n ´n = - = -
-
r r r
r r r ，3
分
代入直线点向式方程得所求直线方程为
1 2 5
3 1 5
x - y - z +
= =
-
。5
分
46．求函数 f ( x , y ) = x 2 + 3 y 2 - 2 xy + 8 x 的极值．
解：令
2 2 8 0
6 2 0
f x y
x
f y x
y
ì ¶ ï = - + = ï ¶
í ¶ ï = - =
îï ¶
得唯一可能的极值点(6,
2),
2
分
而
2 2 2
2 2 A f 2,B f 2,C f 6
x x y y
¶ ¶ ¶
= = = = - = =
¶ ¶ ¶ ¶
，
有 B2 - AC = -8 < 0, A > 0 ,4
分
高等数学试卷 第 12 页 （共 6 页）
故(6,
2)
是极小值点，极小值为 f (-6,-2) = 36 +12 - 24 - 48 = - 24 5
分
47．将 2
( ) 3
2 1
f x x
x x
=
+ -
展开成x 的幂级数．
解： 2
( ) 3 1 1
2 1 1 1 2
f x x
x x x x
= = -
+ - + -
1
分
因为
0
1 , ( 1 1)
1
n
n
x x
x
¥
=
= - < <
- å ，所以
0
1 ( ) , ( 1 1)
1
n
n
x x
x
¥
=
= - - < <
+ å ，
0
1 (2 ) , ( 1 1 )
1 2 2 2
n
n
x x
x
¥
=
= - < <
- å 3
分
所以
0 0 0
( ) ( )n (2 )n ( 1)n 2 n n
n n n
f x x x x
¥ ¥ ¥
= = =
=å - -å =å éë - - ùû ，
1 , 1
2 2
x Îæç- ö÷
è ø
5
分
48．计算二重积分 2 2 d
D
òò x + y s ，其中D是由圆 x2 + y 2 = 3 所围成的闭区域．
解：积分区域如图所示
在极坐标系下积分区域表示为
{( q , r) | 0 £q £ 2π,0 £ r £ 3 } ，3
分
故
2 2 2π 3 2
0 0
d d d
D
òò x + y s = ò q ò r r 4
分
3
3 2 3
0
0
2π d 2π 1 2 3π
3
= ò r r = r = 。5
分
49．求微分方程 9 y ¢ - 6 y ¢ + y = 0 的通解．
解：这是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为 9r2 - 6r +1 = 0 2
分
从而有两个相等特征根 1 2
1
3
r = r = 3
分
故方程的通解为
1
3
1 2 ( )e x y = C + C x （ 1 C ， 2 C 是任意常数）5
分
四、应用题（每小题8 分，共16 分）
50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时
x2 + y2 = 3®r = 3
x
y
O
q
高等数学试卷 第 13 页 （共 6 页）
用料最省？
解：设容积的高和底面半径分别为h ， r ，其表面积为S ，
则 V = π r2 h ， S = 2πr 2 + 2π rh ，2
分，
把 π 2
h V
r
= 代入得 S 2π r2 2V , (r 0)
r
= + > ，此问题转化为求S 最小值，4
分
令 2
4π 2 0 r
S r V
r
¢ = - = 得唯一可能的极值点 3
2π
r = V ,根据实际意义可知S 一定存
在最小值，故此时S 就取得最小值6
分
这时
3
2
3
3
π 2π 2π 2
π π π
V
h r V V V
r r r V V
æ ö
= = = ×çç ÷÷ = × =
è ø
---7 分
故容积的高与底面半径的比值为 2 时，用料最省。8
分
51．平面图形D由曲线 y = x 2 ，直线 y = 2 - x 及x轴所围成．求：
（1） D 的面积；
（2） D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．
解：平面图形D 如图所示
联立方程
2
2
y x
y x
ì =
í
î = -
得交点（1,1）,
（-2,4）。
取x为积分变量，且 xÎ[0,1]È [1, 2] 。
------3 分
（1）所求平面图形D 为
1 2 2
0 1
A = ò x dx + ò (2 - x)d x
3 1 2
2
0 1
(2 1 ) 1 1 5
3 2 3 2 6
= x + x - x = + = 5
分
（2）平面图形D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积为
1 4 2
0
π d 1 π 1 1
x 3 V = ò x x + × ×
5 1
0
π π 8 π
5 3 15
x
= + = 8
分
五、证明题（9 分）
2
y = x 2
(1, 1)
y = 2 - x
x
y
O
2
1
高等数学试卷 第 14 页 （共 6 页）
52．设函数 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1] 上连续，在开区间 ( 0 , 1) 内可导，且 f (0) = 0 ，
f (1) = 2 ．证明：在 ( 0 , 1) 内至少存在一点x ，使得 f ¢( x ) = 2x + 1 成立．
方法一
证明：构造函数 F(x) = f (x) - x 2 ， ----2 分
因 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1] 上连续，在开区间 ( 0 , 1) 内可导，所以函数 F (x ) 在闭区间
[ 0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，且 F¢(x) = f ¢( x) - 2 x ． ---4分
于是 F (x ) 在 [ 0 , 1] 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间 ( 0 , 1) 内至少存
在一点x ，使得
( ) (1) (0)
1 0
F x F F
¢ - =
-
，---6 分
将 f (0) = 0 ， f (1) = 2 代入上式，得
( ) (1) (0) [ (1) 1] [ (0) 0] 1
1 0
F x F F f f
¢ - = = - - - =
-
，----8 分
即 f ¢( x ) - 2x = 1 ，
于是 f ¢( x ) = 2x + 1 ．----9 分
方法二
证明：构造函数 F(x) = f (x) - x2 - x ， ----3 分
因 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1] 上连续，在开区间 ( 0 , 1) 内可导，所以函数 F (x ) 在闭区间
[ 0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，且 F¢(x) = f ¢( x) - 2x - 1 ． ---5分
并有 F(0) = F (1) = 0
即有 F (x ) 在 [ 0 , 1] 上满足罗尔中值定理的条件，故在开区间 ( 0 , 1) 内至少存在一
点x ，使得 F ¢( x ) = 0 ，------8分
即 f ¢ (x ) - 2x -1 = 0 ，
故 f ¢ (x ) = 2x + 1 ．----9 分 |
|
发表于 2010-6-17 08:22:06
